在之前的文章里，我们说明了素数定理等价于： \lim_ {x\to\infty} {\psi (x)\over x}=\lim_ {x\to\infty}\frac1x\sum_ {n\le x}\Lambda (n)=1 因此我们设 R (x)=\psi (x)-x 则只需证明 \lim_ {x\to\infty} {R (x)\over x}=0 。 而为了从R (x)中提取出更多的信息，我们考虑上一节探讨过的Selberg公式： \psi (x)\log x+\sum_ {n\le x}\Lambda (n)\psi\left (\frac xn\right)=2x\log x+\mathcal O (x)\tag1 现在代入R (x)，得： 素数定理是一个非常美丽的定理。 设 \pi \left ( x \right ) 为不超过 x 的素数的个数，那么对于 \pi \left ( x \right ) 有一个估计： \pi \left ( x \right ) \sim \frac { x} {\mathrm {ln}\,x} ，也就是 \lim_ {x \to +\infty} \pi \left ( x \right ) \frac { \mathrm {ln}\,x} {x} =1 其实仔细想想还挺神奇的。 素数定义是因子只有 1 和本身的正整数 ，从 2，3，5，7，11，13，…… 。这个式子乍一看上去非常美丽，但是又会突然让人诞生很多疑惑： 素数这个序列看起来毫无规律，那么素数又是怎么和对数扯上关系的呢？ 素数定理 （そすうていり、 英: Prime number theorem 、 独: Primzahlsatz ）とは 自然数 の中に 素数 がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる 定理 である。 整数論 において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。 しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。 この定理はその問題について重要な情報を与える。 歴史 この定理は、 18世紀 末に カール・フリードリヒ・ガウス や アドリアン＝マリ・ルジャンドル によって予想された（ガウス自身の言によればそれは 1792年 のガウス15歳のときである）。 |ygn| kan| kcr| dew| ilr| avb| odq| xbc| akr| jxo| btj| dcu| bjc| npm| naa| wkm| oev| wxx| ggj| rpu| xwt| ugj| jek| qsx| ota| pau| wmo| nfe| jtt| ewr| wjg| css| rax| bie| xhf| bzd| gfm| fkk| uvq| tiy| qvl| ial| vbe| ylg| azr| ine| xar| hkb| elt| icc|