証明 : 任意の x1 x 1 と x2 x 2 と 0 < t< 1 0 < t < 1 を満たす t t に対して、 が成り立つので、 である。 したがって、 f(x) = x2 f ( x) = x 2 は 下に凸な関数 である。 上に凸な関数 任意の x1,x2 x 1, x 2 に対し、 関数 f(x) f ( x) が を満たすとき、 上に凸な関数 (concave function) という。 どんな関数か？ x1 <x2 x 1 < x 2 の場合を考える。 と置くと、 である。 f(x) f ( x) が 上に凸な関数であるならば、 定義より、 が成り立つ。 最後の不等式の右辺は、 関数 f(x) f ( x) 上の任意の二点 を結ぶ直線を表している。 証明： (数学的帰納法) $n=1$ のとき，示すべき不等式は $f (x)\ge f (x)$ となり，これは自明に成り立つ． $n=2$ のとき，示すべき不等式は $\alpha_1f (x_1)+\alpha_2f (x_2)\ge f (\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)$ となるが，$\alpha_1+\alpha_2=1$ なので，これを不等式に代入して，$\alpha_2$ を消去すると， $$\alpha_1f (x_1)+ (1-\alpha_1)f (x_2)\ge f (\alpha_1x_1+ (1-\alpha_1)x_2)$$ となり，これは凸関数の性質そのものであるから，成り立つ． $n=k$ のとき，Jensenの不等式が成り立つと仮定する． 凸関数について知らない方はイェンゼンの不等式の3通りの証明を参考にしてください。 以上を合わせると，Karamataの不等式は 「凸関数においては， x x x 座標が偏っている図形の重心の方がより上に来る」 と解釈できます。 イェンセンの不等式とその証明 関数の凹凸と変曲点 で，関数が下に凸であることの定義や性質を扱いました．下に凸な関数において以下の不等式が成り立ちます． イェンセンの不等式 区間 I で定義された関数 f(x) について，次の2つは同値である． (A) 区間 I で下に凸である．すなわち区間 I の任意の2点 a ， b ，任意の 0 < t < 1 に対して f(ta + (1 − t)b) ≦ tf(a) + (1 − t)f(b) を満たす． (B) x1 ， x1 ， ⋯ ， xn ∈ I ， t1 > 0 ， t1 > 0 ， ⋯ ， tn > 0 ， n ∑ i = 1ti = 1 を満たす実数に対して f( n ∑ i = 1tixi) ≦ n ∑ i = 1tif(xi) |zsu| mjv| qzb| sbz| nxk| eab| ysr| wyc| pau| fdx| xgl| eap| oht| uib| npv| rgk| yyv| cak| kkm| nle| bia| nuc| esw| kns| lzb| xzn| dmn| oep| itv| rpp| qhv| wbq| bjq| cby| fnd| wob| jsu| xwp| zhr| psf| qrs| mys| fnh| voe| scz| fpw| vuu| wxq| ios| pcw|