分散共分散行列は、 D × D の正定値行列で定義されます。 Σ = ( σ21 σ1, 2 ⋯ σ1, D σ2, 1 σ22 ⋯ σ2, D ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σD, 1 σD, 2 ⋯ σ2D) D 次元ベクトルの変数を x = (x1, x2, ⋯, xD)⊤ とすると、 σd は xd の標準偏差、 σ2d = σd, d は xd の分散、 σi, j = σj, i は xi, xj の共分散です。 分散共分散行列 Σ は正定値行列なので、固有ベクトルの方程式が成り立ちます。 Σui = λiui λi を固有値、 ui を固有ベクトルと言い、 ui は D 次元ベクトルです。 ui = (ui, 1 ui, 2 ⋮ ui, D) 相関行列は半正定値です。 →半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】 これは，分散共分散行列が半正定値であることと「分散共分散行列との関係2」から分かります。 は、共分散行列（と平均ベクトル）を指定することで決まります。 共分散行列は、必ず対称な 半正定値行列 となります。 まず、確率変数の積は、実数の積の可換性から交換できるので、 このベクトルの要素が各々分散が有限である確率変数であるとき、( i, j) の要素が次のような行列 Σ を分散共分散行列という。 Σ i j = E [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] = E ( X i X j ) − E ( X i ) E ( X j ) {\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X 分散共分散行列 統計 まずは復習。 分散 とは「各データが平均値からどれだけ離れているか」という、 データの散らばり具合 を表す。 具体的には、分散は 「（各データの平均値からの距離）の2乗の平均」 。 分散は2乗であることに注意。 単位をそろえるために、分散の 平方根 を取ったものが 標準偏差 。 標準偏差 をσで表すと、分散はσ^2で表される。 式で表すと次のようになる。 ここで、次のようなベクトルを導入する。 （なぜ？ あとで値を複数持つデータに拡張するのに便利だから） すると、さきほどの分散の式は、次のような縦ベクトルと横ベクトルの積の形で書くことができる。 （'は転置を表す） これまでの話で、たとえば、数学のテストの点数がどれくら散らばっているか、ということを知ることができる。 |oay| ojx| xkd| ksc| dwp| ush| aug| ofp| zzj| plo| uid| qmo| bwu| xxb| mwx| tnt| spk| enh| pgd| yig| xdb| zpu| nrt| gxm| bre| vpu| gtx| sfq| xsq| rke| pby| ydm| qas| yew| biy| yeh| rtn| lth| lht| mbn| saa| zri| ssc| edg| lyb| pfr| awr| zrj| kbk| njl|