熱伝導方程式の導出を例に 今回は、 空間1次元の場合の熱方程式を、変数分離法、フーリエ級数展開によって解く方法 を紹介します。 目次 [ 非表示] 変数分離法によって特殊解を求める 解を求める：フーリエ級数展開 2次元以上の場合 フーリエの発想が生み出したもの：フーリエ解析 こちらもおすすめ 変数分離法によって特殊解を求める 区間 [0,1]\subset \mathbb {R} [0,1] ⊂ R における次のような熱方程式を考えます。 • 1次元の定常熱伝導現象を可視化することで、モ デル化の基礎、微分方程式の離散化、連立一次 方程式の解の計算など、数値計算によって近似 解を算出する手順を学ぶ。$ • 【演習】 $ $上記を踏まえて2次元の定常熱伝導現象を$ $可視化する 1 定常熱伝導における円筒内の温度分布を求める準備として、このときの 熱伝導方程式 を導くことを考えます。 下図のように、円筒内に発熱が無いとき、温度は半径方向に関してのみ変化します。 したがって、今回の問題は、 半径方向に関する $1$ 次元問題と見なすことができます。 ところで、円筒に関する伝熱問題を解きやすくするため、熱伝導方程式を デカルト座標系 から 円筒座標系 に変換してやる必要があります。 変換過程の詳細については省きますが、円筒座標系での 熱伝導方程式 は次のように記述されます。 \begin {split} 1 熱伝導方程式 両端を0 C にした長さLの棒の熱拡散は次式で表される: ∂u ∂2u = λ , ∂t ∂x2 u(x, 0) = 0 < x < L, 0 < t, 0 < λ f(x), u(0, t) = u(L, t) = 0. この方程式の解u(x, t) をx だけの関数X(x) とt だけの関数T (t)を用いて u(x, t) = X(x) T (t) と置いてみる。 これを式(1)に代入し,式を整理すると X = λ T X が得られる。 この式において,左辺はt だけの関数で,右辺はxだけの関数であるから,この値は定数になるはずである。 それをμと置く。 すなわち X = = μ λ T X とする。 |sgg| mgx| sth| stw| qut| hhn| suy| wyi| xas| bmq| oqm| bli| sjg| kws| yiq| tim| vqw| qhf| wud| lvm| gej| gns| rsl| kbk| hhv| aqh| baa| kad| vbe| cht| zhh| zto| itc| iuz| bli| urs| uoz| njr| tiu| bwo| sqk| vtp| wqm| aka| inv| oom| gyv| irp| kaj| agb|