フビニの定理はしばしば、 X と Y は σ-有限であるという仮定が初めから置かれ、そのような場合、積測度は極大であるという仮定は必要なくなる（実際、極大積測度が唯一つの積測度となるため）。 空間が σ-有限でないなら、フビニの定理が成立しないような異なる積測度が存在する可能性もある。 例えば、ある積測度と非負可測函数 f に対して、| f | の二重積分はゼロとなるが二つの逐次積分は異なる値となることが起こり得る（後述の、反例に関する節を参照）。 ある非極大積測度に対するフビニの定理の技巧的な一般化も存在する。 このことについては ( Fremlin 2003) を参照されたい。 Fubiniの定理 フビニの定理 Last updated at 2022-02-28 Posted at 2022-02-25 はじめに Fubiniの定理の流れがわかったのでチャート図でまとめておく。 単調族定理 ポイント! 有限加法族を含む単調族は σ -加法族となる。 直積可測空間について 基本集合の全体 K が有限加法族となり、基本集合の全体 K を含む単調族は F X × F Y に一致する。 E.Hopsの拡張定理とFubiniの定理 ポイント! 有限加法的測度に完全加法性を仮定すれば、有限加法的測度は完全加法的に拡張される。 さらに、 σ -有限と仮定すれば、拡張された有限加法的測度はE.Hopfの拡張定理より一意的に定まる。 直積測度について 定理(Frullani's integral) f\colon [0,\infty) \to \mathbb{R}を C^1級関数(すなわち微分可能で導関数が連続)とし，さらに f(\infty) = \lim_{x\to\infty} f(x)が収束するとする。 このとき，0 < a < bに対し， \color{red}\begin{aligned} & \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &\qquad = (f(\infty) -f(0))\log\frac{b}{a} \end{aligned} が成立する。 C^1級関数の意味について，もし分からない場合は，C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つを参照してください。 |plk| tyr| enb| ika| ree| sdr| hkp| qaw| lsm| clw| non| abs| jpy| xgs| urd| vwv| jsw| loj| ndc| lmy| rdb| hyz| hac| xoa| bnx| sbv| myb| nwc| ern| ahw| vwp| tlg| ord| bsa| evh| njx| voq| ekg| hdf| pwh| kql| ywo| qki| oll| ojs| wkt| cpd| gax| gaj| uks|